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UGM

Ubpa Graphics Mathematics,Ubpa 图形数学库

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特点

  • 着重“正确”的代数概念(环、线性、欧式空间、仿射空间等)
  • 面向对象(所有方法都是类方法)
  • 只有头文件 head-only
  • 高性能:SIMD 加速,各算法最优化
  • 利用单继承化优化代码结构(不使用恶心的宏)
  • 提供 natvis 优化 debug 信息
  • ...

1. 简介

UGM 是着重于代数概念的数学库,区分点、向量、法向、颜色等,从而尽可能地避免了错误的计算。

常用的图形数学库(如 Eigen,glm)只提供 vec 类,并使其能做各种运算(如 +-*/ 等),但从代数方面考虑,这并不合理。

示例

  • 点与点之间不能相加
  • 颜色与点之间没有关系
  • 变换矩阵(4x4)与法向的乘积不同于一般向量
  • 在考虑齐次坐标时变换矩阵(4x4)与向量和点的乘积不同
  • ...

我们通过提供 pointvecnormalrgb 等来区分不同的代数概念,并仅让他们支持合理的操作,这样就能在编译期就发现各种代数方面的错误,另外还能减轻心智负担(根据类型执行不同的操作)。

此外,我们还通过单继承的技术实现了极佳的代码编写,特点如下

  • 复用函数实现(不同于 C++20 的 concept 或者接口,他们只是对类支持的“操作”进行了约束)
  • 空基类优化
  • ...

2. 示例

#include <UGM/UGM.h>

using namespace Ubpa;
using namespace std;

int main() {
    transformf tsfm{
        vecf3{1,1,1},                        // T
        quatf{vecf3{1,0,0}, to_radian(90.f), // R
        scalef3{2.f}}                        // S
    }; // T * R * S

    pointf3 p{ 1,2,3 };
    vecf3 v{ 1,1,1 };
    normalf n{ 0,1,0 };
    bboxf3 b{ p, p + v }; // min: 1 2 3, max: 2 3 4
    rayf3 r{ p, v }; // point: 1 2 3, dir: 1 1 1, tmin: EPSILON, tmax: FLT_MAX

    cout << tsfm * p << endl; // 3 -5 5
    cout << tsfm * v << endl; // 2 -2 2
    cout << tsfm * n << endl; // 0 0 0.5
    cout << tsfm * b << endl; // 3 -7 5, 5 -5 7
    cout << tsfm * r << endl; // 3 -5 5, 2 -2 2, EPSILON, FLT_MAX

    return 0;
}

3. 文档

4. 设计思路

为了更好地使用该数学库,我们很有必要先了解下该库的设计思路。

4.1 代数概念

该库着重于正确的代数概念,使用者很可能对这方面并不了解,但只要知道基础的线性代数知识即可。

下边我简单介绍下该库涉及的主要代数概念。

  • 加法 IAdd:相同元素之间的运算,具有交换性(a+b==b+a)和可逆性(a+(-a)=0
  • 乘法 IMul:相同元素之间的运算,具有可逆性(a*(1/a)=1),不一定具备交换性(a*b==b*a)。
  • 数乘 IScalarMul:类与标量(如 float)之间的运算,具有交换性。
  • 线性 ILinear:加法 + 数乘,该空间中的元素称为向量
  • IRing:加法 + 乘法
  • 度量 IMetric:也叫距离
  • 范数 INorm:向量 => 标量的函数,一般也叫大小 / 长度,可自然诱导出度量(distance(a,b) == (a-b).norm()
  • 内积 IInnerProduct:可自然诱导出范数(sqrt(dot(x, x)) == norm
  • 仿射空间 IAffine:具有位置概念的空间,该空间中的元素称为点,会对应一个线性空间,两空间之间的元素有关联,如 point-point => vectorpoint+vector => point

4.2 底层存储类型

  • 数组 IArray:有序的元素序列,这将是我们各种类的基类,一般是 std::array<T, N>,其中 T 可以是 floatint,也可以是 pointvec
  • 矩阵 IMatrix:一维数组的数组

由于底层存储类型不同,上述代数概念的具体实现有所不同(抽象 => 具体),并引申出新的代数概念

4.2.1 数组

底层存储类型为数组时,则可引申出如下代数概念

  • 欧式(向量)空间 IEuclideanV:线性空间 + 内积(dot(a,b) == a.x*b.x + a.y*b.y + a.z*b.z
  • 欧式仿射空间 IEuclideanA:欧式(向量)空间对应的仿射空间
  • 逐元素乘 IArrayHadamardProducta*b=(a.x*b.x, a.y*b.y, a.z*b.z)

上述各种概念在具体为数组时会有对应的实现,如

T operator+(T a, T b) const {
    return {a[0]+b[0], a[1]+b[1], a[2]+b[2]};
}

4.2.2 矩阵

由于该库用于离线渲染,实时渲染,游戏等,基本只要用 float4,因此也只需 3x3 和 4x4 的矩阵,因此该库也限制为只支持 3x3 和 4x4 的矩阵(并特化矩阵的乘法与逆的实现,如循环展开,simd 加速,以提高性能)。

大型矩阵的支持一般需要用线性代数库,如 Eigen 等。

底层通过一维数组的数组来实现,右乘,列优先,同于 OpenGL 与 DX(右乘+列优先的方案十分适合于 SIMD,同理左乘+行优先也如此)。

4.3 类

通过组合多个代数概念并加上具体类型支持的操作,可以轻松得到各种各样的代数类。他们满足不同的操作,极大地帮助使用者避免错误。

目前各种组合(主要部分)如下

graph.jpg

若图片加载失败,请用该链接 graph.jpg

图中含有的类有

  • 向量 vec
  • 法向 normal:本质是二重向量 bivector(wiki, stackoverflow
  • point
  • 四元数 quat:限制为单位四元数,用于表示旋转
  • 矩阵 mat
  • 变换 transform:可表示仿射变换(平移,旋转,缩放)和射影变换(正交投影,透视投影)
  • 颜色 rgb
  • 缩放 scale

该库还含有类

  • val:加法 + 数乘 + 逐元素乘
  • 欧拉角 euler:roll -> pitch -> yaw,同于 Unity3D
  • 透明颜色 rgba
  • 表面向量 svec:切空间的单位向量,上方向为 z 轴
  • 齐次向量 hvec
  • 包围盒 bbox:axis-aligned bounding box (AABB)
  • 三角形 triangle:三个 point
  • 直线 linepoint + direction
  • 射线 ray:增加了 t mint max 的直线

5. 接口

类由多个代数概念组合而成,所以关键在于把握代数概念的接口,各代数概念位于 include/UGM/Interfaces/

所有接口都是类方法,方便使用,大部分情况下都可以利用 IDE 的代码提示功能(如 VS2019 的 intellisense)来查询接口。

此外还提供了渲染领域常见函数 / 算法,如相交(位于 lineray 内)、采样材质 等。

6. SIMD

该库支持 SIMD,只要求支持 SSE2 指令。

主要加速的类为 float4,包括 vecf4pointf4 等。

注意 float3 并没有 SIMD 加速,这是为了保持 sizeof(float3)==3*sizeof(float),部分数学库通过使用含 __m128float3 来实现 SIMD 加速,但这样 sizeof(float3)==4*sizeof(float)。目前可以通过显式将 float3 转成 float4 来获取加速效果。

加速部分包括

  • +-*/ ...
  • min/max/min_component/max_component/abs/sin/cos/...
  • transform * float4/bbox/transform
  • transform inverse
  • raysphere/triangle/bbox 的相交
  • float3dot/cross(需要扩展成 float4 并使用 float4::dot3float4::cross3
  • ...

7. Natvis

泛型编程在 debug 时会引入大量的单继承,该库使用了单继承化技术,单继承深度也很大,导致在 IDE 中查看类成员变量会很麻烦。

示例

TextBox default visualization

若图片加载失败,请用该链接 TextBox default visualization

我们可使用 VS2019 的 natvis 功能来实现定制的视图

natvis_demo.jpg

若图片加载失败,请用该链接 natvis_demo.jpg

当使用 find_package(UGM REQUIRED) 时,会自动给解决方案添加一个项目,包含 UGM_<VERSION>.natvis,从而使得其他项目都可以支持 natvis(VS2019 支持多种方式引入 natvis,但这是目前我能想到的最合适的方式)。

use_natvis.jpg

若图片加载失败,请用该链接 use_natvis.jpg

Future Features

  • [x] 更轻量级的单继承化技术(减少 coding overhead),进一步加快编译速度
  • [x] 提供 config.h,方便定制功能
  • [x] 给 float4 一系列 v3_* 接口
  • [ ] 支持 CUDA
  • [x] swizzle
  • [x] 去除依赖 XSIMD
  • [ ] vector op: log, exp, cos, sin, ...
  • [ ] ...

Copyright and Licensing

You can copy and paste the license summary from below.

MIT License

Copyright (c) 2020 Ubpa

Permission is hereby granted, free of charge, to any person obtaining a copy
of this software and associated documentation files (the "Software"), to deal
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